Stewart Platform

Stewart Platform

Fatma Altın

Bu yazımızda kırık kemik redüksiyonunda kullanılmak üzere tasarlanmış paralel bir mekanizma olan stewart platformun hareket etmesini sağlayacak olan transformasyon matrisi bulunacaktır.

Paralel robotlar kapalı çevrim bir yapıya sahiptir.  Seri robotlar ile karşılaştırıldığında çalışma alanları küçük olup, kinematik yapıları zordur. Ama daha hassas, daha rijit, yük taşıma kapasiteleri daha fazla ve kontrolleri daha kolaydır. Bu gibi avantajlardan dolayı kırık kemik tedavisinde bu tip bir manipulatör tasarlanmıştır. Tasarım kriterleri ve nasıl tasarlandığı bu yazıda anlatılmayacaktır.

Bu mekanizmanın hareketi, hesaplanan transformasyon matrisi ile sağlanacaktır.  Transformasyon matrisi bize mekanizmanın rotasyonu ve yer değiştirmesi hakkında bilgi verir. Transformasyon matrisinin 16 bileşeni vardır. Bunlardan 9’u rotasyon ile ilgili olup 3’ü yer değiştirmesi ile ilgilidir.

Aşağıda gösterilen mekanizmada alt ve üst platforma küresel mafsallar bağlıdır ve bunlar birbirine prizmatik mafsal olarak kullanılan kaydırıcı krank mekanizması ile bağlıdır. Ortadaki silindir yapılar kemik parçalarını temsil etmektedir.

Bu çalışmada alt platform sabit ve üst platform alt platformdan farklı bir oryantasyonda durmaktadır. Kemik parçaları uygun bir pozisyonda birleştirilmek istenmektedir. Bunun için üst platformun noktalarını alt platforma eşleyen transformasyon matrisi bulunmalıdır.

Yukarıda verilen eşitlikle transformasyon matrisi hesaplanabilir. S üst platform noktalarını, M alt platform noktalarını temsil etmektedir. Transformasyon matrisi 12 bilinmeyenlidir. Bu yüzden 12 tane denklem gereklidir. Yani bilinmeyenleri çözmek için 4 nokta gereklidir.

Şekil 1 - Stewart Platform ve Kemik Gösterimi

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere alt platform, üst platform, alt kemik ve üst kemik kendi koordinat eksenlerine sahiptir.  Gerekli olan transformasyon matrisini bulmak için alt kemikten 4 nokta kendi koordinat eksenine göre seçilir. Ve bu noktaların karşılıkları üst kemikten üst kemiğin koordinatına göre yazılır.

Şekil 2- Alt Kemik Nokta Seçimi
Şekil 3-Üst Kemik Nokta Seçimi

Mekanizmanın hareketini sağlamak için üst kemik noktalarını alt kemiğe eşleyen transformasyon matrisi bulunacaktır. UB üst kemiği, LB alt kemiği, UP üst platformu ve LP alt platformu temsil etmektedir.

Önce alt kemiği alt platforma eşleyen transformasyon matrisi bulunur. Yukarıda belirtilen şekilde alınan koordinat eksenlerinde alt kemik ve alt platform arasındaki transformasyon matrisi aşağıdaki gibidir.

Daha sonra alt kemiği alt platform koordinat eksenine eşleyen transformasyon matrisi aşağıdaki gibi bulunur.

Daha sonra üst platformu alt platforma eşleyen transformasyon matrisi bulunur.

Yukarıdaki eşitliğe göre üst platformun gerekli hareketi yapabilmesi için gerekli transformasyon matrisi bulunur.

Üst platformda seçilen noktaların koordinatları aşağıdaki gibidir.

Üst platformda seçilen noktaların alt platformdaki karşılıkları aşağıdaki gibidir.

Yukarıdaki işlemler 4 nokta için de yapılır ve 12 tane eşitlik yazılır. Bu 12 eşitlikten bilinmeyenler bulunarak üst platformun uygun hareketi için gerekli transformasyon matrisi bulunur. Transformasyon matrisi ile üst platformdaki noktalar çarpılır ve mekanizmanın ters kinematiği yapılır.

Şekil 4- Stewart Platformun Ters Kinematiği

Bu mekanizmada prizmatik mafsallarda eyleyici vardır. Eyleyicinin yapacağı hareketi bulmak için gerekli eklem uzunlukları bulunmalıdır.  Uygun uzunluğu bulmak için yukarıdaki denkleme göre ters kinematik yapılmalıdır. Bunun için bütün noktalar için tanımlı bir p vektörü, b vektörü, a vektörü  ve üst platform koordinat eksenini alt platforma eşleyen bir rotasyon matrisi tanımlanmalıdır.  b vektörü küresel bir eklemin üst platformun merkez noktasına göre boyutudur. Yani boyutu doğrudan vektör olarak yazılabilir. a vektörü, taban platformundaki küresel eklemin taban platformunun merkezine göre karşılık gelen boyutudur. Direkt yazılabilir. Çünkü her iki platformun merkezi koordinat eksenlerine göre orijindir. P vektörü, taban platformunun merkezinden üst platforma giden vektördür. Bunu bulmak için, üst orta noktadan taban merkezli nokta çıkarılmalıdır. Ancak bu 2 noktanın farklı koordinat eksenleri vardır. Bu nedenle üst orta nokta, taban platform koordinat eksenine göre tanımlanmalıdır. Bunun için bir rotasyon matrisi bulunmalıdır.  Tüm vektör ve matrisler bulunduktan sonra yukarıdaki eşitliğe göre mekanizmanın ters kinematiği gerçekleştirilir.

Şekil 5- Kaydırıcı Krank Mekanizması 

Beta=acos((a*a+K2*K2-b*b)/(2*a*K2))

Stewart platformun ters kinematiği yapıldıktan sonra kaydırıcı krank mekanizmasının da ters kinematiği yukarıdaki eşitliğe göre yapılarak eyleyici hareketi belirlenir.